Lê Hữu Cung, tên khai sinh là Lê Hữu Cẩn[4] sinh ngày 12 tháng 3 năm 1898 tại giáo họ Bắc Tỉnh, giáo xứ Phú Nhai. Địa phận hành chính thuộc xã Xuân Phương, huyện Xuân Trường, tỉnh Nam Định.[5] Ông là giám mục duy nhất xuất thân từ Giáo họ Bắc Tỉnh, nay là làng Trà Lũ, nơi giáo sĩ In-nê-khu - giáo sĩ đầu tiên truyền đạo Công giáo đến Việt Nam đặt chân và bắt đầu công cuộc truyền giáo vào năm 1533.[6][7] Gia đình Lê Hữu Cung có chín người con, gồm sáu nam và ba nữ.[4] Sau quá trình tu học, chủng sinh Lê Hữu Cung được thụ phong linh mục vào ngày 14 tháng 6 năm 1930.[3][5] Một số thông tin cho rằng ông được thụ phong linh mục năm 1927.[4]

Năm 1935, linh mục Lê Hữu Cung được bổ nhiệm giữ chức Giám đốc Trường Tập, dưới thời Giám mục Đại diện Tông Tòa Bùi Chu Giuse Đa Minh Hồ Ngọc Cẩn.[8][9] Năm 1939, linh mục Cung được bổ nhiệm làm linh mục chính xứ Đền Thánh Trung Lao.[10] Song song với trách vụ trên, từ năm 1940 đến năm 1942, ông kiêm nhiệm vai trò linh mục chính xứ Giáo xứ Trung Linh.[11]

Năm 1942, Lê Hữu Cung được chọn làm Bề trên Trường Tập Trung Linh. Trong thời gian này, ông khuyến khích sùng kính Trái Tim Chúa Giêsu và phát hành sách về chủ đề này.[5] Trong năm 1945, linh mục Cung đảm trách chức vụ chính xứ Giáo xứ Tương Nam, đồng thời ông sáng lập Cô nhi viện Tương Nam với mục đích cứu giúp các trẻ em bị bỏ rơi và lâm cảnh đói kém. Với nạn đói năm 1945, trong khi bữa trưa chỉ là rau và khoai, linh mục Cung cho xuất kho gạo giáo xứ, nấu thành cháo, hỗ trợ mọi người không phân biệt tôn giáo. Với biến cố này, nhiều người quyết định gia nhập đạo Công giáo.[5] Trước đó, giáo xứ Tương Nam vừa khánh thành giáo xứ mới vào năm 1944. Năm 1945 hoặc 1946, linh mục Lê Hữu Cung được thuyên chuyển giữ chức linh mục chính xứ Giáo xứ Tứ Trùng.[12][13] Ông thi hành tác vụ mục vụ tại Tứ Trùng không rõ đến thời gian nào, chỉ có thông tin vị kế vị là linh mục Đinh Vĩnh Bảo, quản lý giáo xứ từ năm 1954.[14]

Năm 1960, linh mục Đa Minh Lê Hữu Cung được bổ nhiệm giữ chức Tổng đại diện Giáo phận Bùi Chu.[5] Khi được bổ nhiệm làm Tổng Đại diện, ông đang đảm nhận chức linh mục chính xứ Phú Nhai.[15] Khi còn đảm trách vai trò linh mục tại Phú Nhai, linh mục Lê Hữu Cung có sức khỏe kém do bị hen suyễn, nhiều lần phải đưa đi cấp cứu. Tuy vậy, ông vẫn thi hành các tác vụ linh mục trong hoàn cảnh khó khăn: thực hiện Bí tích Hòa Giải qua đêm, trao Mình Thánh liên tục trong các thánh lễ từ một đến hai giờ đồng hồ.[5]

Sau cái chết của Giám mục Giáo phận Bùi Chu Giuse Maria Phạm Năng Tĩnh vào giữa tháng 2 năm 1974, Linh mục Tổng Đại diện Lê Hữu Cung rời Phú Nhai đến Tòa giám mục Bùi Chu để lo hậu sự cho cố giám mục và để điều hành giáo phận.[5]